부울 대수 기본 법칙과 간소화

부울대수 연산과 간소화

부울대수의 기본 개념과 주요 연산 법칙을 정리하고, 흡수 법칙과 합동 정리를 중심으로 설명한다. 또한, 이를 연습할 수 있는 복습문제를 포함한다.

1. 부울대수 기본 개념

• 부울대수: 변수 값이 0(거짓) 또는 1(참)인 논리 체계
• 기본 연산자:
  • AND (∧): 두 항이 1일 때 1
  • OR (∨): 하나라도 1이면 1
  • NOT (¬): 입력값 반전
  • XOR (⊕): 1의 개수가 홀수이면 1

2. 부울대수 연산 법칙

• 항등 법칙
  • A ∧1 =A, A ∧1 =A
• 영(Null) 법칙
  • A ∨1 =1, A ∧0 =0
• 보수 법칙
  • A ∨¬A =1, A ∧¬A =0
• 멱등 법칙
  • A ∨ A = A, A ∧ A = A
• 교환 법칙
  • A ∨ B = B ∨A, A ∧ B = B ∧ A
• 결합 법칙
  • A ∨ B ∨ C = A ∨ B ∨ C
  • A ∧ B ∧ C = A ∧ B ∧ C
• 분배 법칙
  • A ∧ B ∨ C = A ∧ B ∨ A ∧ C
  • A ∨ B ∧ C = A ∨ B ∧ A ∨ C

2.1 흡수 법칙

• OR 흡수 법칙: A∨(A∧B)=A
  • A = 1이면 전체 값은 1, A = 0이면 0
• AND 흡수 법칙: A∧(A∨B)=A
  • A = 0이면 전체 값은 0, A = 1이면 1

2.2 합동 정리 (Consensus Theorem)

• 기본 형태:
  A ∧B ∨¬A ∧C ∨B ∧C = A ∧B ∨¬A ∧C
  • B ∧ C 항은 다른 두 항에 의해 결정되므로 제거 가능

3. 복습문제

3.1 기본 연산 및 법칙 적용

1. 흡수 법칙 적용
   • 문제:
     A∨(A∧B)
   • 힌트: 흡수 법칙을 적용하여 간소화하라.
2. AND 흡수 법칙 적용
   • 문제:
     A∧(A∨B)
   • 힌트: AND 흡수 법칙을 활용하여 간소화하라.
3. 분배 법칙 적용
   • 문제:
     (A∧B)∨(A∧¬B)
   • 힌트: 공통인수 (A)를 묶어 간소화하라.
4. 드모르간 법칙 적용
   • 문제:
     ¬(A∨(B∧C))
   • 힌트: 드모르간 법칙을 적용하여 변형하라.

3.2 합동 정리 및 기타 법칙 활용

5. 합동 정리 적용
   • 문제:
     (A∧B)∨(¬A∧C)∨(B∧C)
   • 힌트: 합동 정리를 사용하여 중복되는 항을 제거하라.
6. 분배 법칙과 항등 법칙 혼합 적용
   • 문제:
     (A∨B)∧(A∨¬B)
   • 힌트: 분배 법칙을 활용한 후 보수 법칙과 항등 법칙을 적용하라.
7. 진리표 작성
   • 문제:
     (A∨B)∧¬(A∧C)
   • 힌트: 가능한 모든 입력 조합을 고려하여 진리표를 작성하라.

3.3 추가 연습 문제

8. 논리식 동치 증명
   • 문제:
     A∨(B∧C)와 (𝐴∨𝐵)∧(𝐴∨𝐶)가 동치임을 증명하라.
   • 힌트: 각 식의 값을 진리표를 통해 비교하거나 법칙을 활용하여 증명하라.
9. 다중 항 논리식 간소화
   • 문제:
     (A∧¬B)∨(A∧B)∨(¬A∧B)
   • 힌트: 같은 변수의 보수를 포함하는 항들을 결합하여 단순화하라.
10. 다중 항 논리식 간소화 2
    • 문제:
      (A∧¬B)∨(¬A∧¬B)∨(A∧B)
    • 힌트: 공통 항을 찾아 정리하라.
11. 다중 항 논리식 간소화 3
    • 문제:
      (A∧B)∨(A∧¬B)∨(¬A∧B)
    • 힌트: 항을 묶어 간소화하라.