PDA 1

📌 PDA for the Language L = a*

1️⃣ 문제 정의

주어진 언어는 L = a*이며, 이는 공백 문자열 (ε)을 포함하여 0개 이상의 'a'로 이루어진 문자열을 포함하는 정규 언어입니다.

✔️ 유효한 문자열 예시:
{ ε, a, aa, aaa, aaaa, ... }

✔️ 이 언어의 특징:

• 'a'를 여러 개 포함할 수 있습니다.
• 스택을 사용할 필요 없이 상태 전이만으로 인식할 수 있습니다.

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2️⃣ PDA의 동작 원리

이 PDA는 주어진 문자열이 'a'로만 이루어졌는지 확인하는 역할을 합니다.

📢 핵심 원리:

• 문자열이 공백일 경우 (ε), 즉 아무 입력이 없더라도 수락 상태로 이동 가능합니다.
• 문자 'a'를 받을 경우, 상태를 유지하며 다음 문자를 읽습니다.
• PDA에서 스택을 활용하지 않고 상태 전이만으로 문자열을 처리합니다.

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3️⃣ PDA 상태 전이 정의

이 PDA는 세 개의 상태를 가집니다.

현재 상태 q	입력 심볼 a	공백 입력 (ε)	최종 상태 여부
q_0 (초기 상태)	(q_1, Z_0 | Z_0)	(q_f, Z_0 | Z_0)	❌
q_1	(q_1, Z_0 | Z_0)	(q_f, Z_0 | Z_0)	❌
q_f	❌	❌	✅

설명

1. PDA는 초기 상태 q_0에서 시작하며, 공백 입력을 받으면 바로 최종 상태 q_f로 이동할 수 있습니다.
2. 'a'를 입력 받으면 q_1으로 전이하고, 이후 계속해서 'a'를 받을 수 있습니다.
3. 공백 입력 (ε)이 오면 최종 상태 q_f로 이동하여 문자열을 수락합니다.

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4️⃣ PDA 상태 다이어그램

아래는 PDA의 동작을 나타낸 상태 다이어그램입니다.

(q0) -- a --> (q1) -- a --> (q1) -- a --> (q1) ...
  |                              |
  |--- ε ----------------------> (qf)

✅ 다이어그램 설명

• 초기 상태 q_0에서 공백 입력 (ε)을 받으면 바로 최종 상태 q_f로 이동 가능.
• q_1에서 'a'를 연속적으로 입력받아도 상태를 유지.
• 입력이 끝나면 공백 입력을 통해 최종 상태 q_f로 이동하여 문자열을 수락.

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5️⃣ PDA 동작 예시

아래는 몇 가지 입력 문자열에 대한 PDA 동작 과정입니다.

입력 문자열	PDA 동작 순서	결과
ε	q_0 → q_f	✅ 수락
a	q_0 → q_1 → q_f	✅ 수락
aa	q_0 → q_1 → q_1 → q_f	✅ 수락
aaaa	q_0 → q_1 → q_1 → q_1 → q_1 → q_f	✅ 수락
b	❌ ('a'만 허용)	❌ 거부
ab	❌ ('b'가 포함됨)	❌ 거부

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6️⃣ 결론

📢 이 PDA는 'a'만으로 이루어진 문자열을 인식하는 역할을 합니다.
📢 스택을 활용하지 않고 상태 전이만으로 동작하므로, 사실상 DFA와 동일한 방식으로 작동합니다.
📢 PDA를 더 복잡한 언어 (예: a^n b^n)를 처리하는 데 활용하려면 스택을 적극적으로 활용해야 합니다.

✅ 정리:
이 예제는 PDA의 기본적인 동작을 설명하기 위한 간단한 사례이며, 실제 PDA의 강점(스택 활용)을 이용하지 않은 설계임을 알 수 있습니다.

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📌 PDA for the Language L = (ab)* a

1️⃣ 문제 정의

주어진 언어는 L = (ab)* a이며, 이는 0개 이상의 ‘ab’ 반복 패턴이 등장한 후, 반드시 마지막에 'a'로 끝나는 문자열을 포함하는 정규 언어입니다.

✔️ 유효한 문자열 예시:
{ a, aba, ababa, ababababa, ... }

✔️ 이 언어의 특징:

• 'a' 단독으로 등장할 수 있습니다 (a ∈ L).
• 'ab' 패턴이 여러 번 반복될 수 있습니다.
• 반드시 마지막에는 'a'로 끝나야 합니다.

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2️⃣ PDA의 동작 원리

이 PDA는 주어진 문자열이 "(ab)의 반복 후 마지막이 'a'로 끝나는지"를 확인하는 역할을 합니다.

📢 핵심 원리:

• 첫 번째 입력이 'a'가 아닐 경우 거부됨.
• 'a'를 받을 경우, 상태를 변경하여 'b'가 올 준비를 합니다.
• 'b'를 받으면 다시 'a'가 올 수 있도록 초기 상태로 돌아갑니다.
• 마지막 입력이 'a'인 경우, 공백 입력 (ε)을 받으면 최종 상태로 이동하여 문자열을 수락합니다.

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3️⃣ PDA 상태 전이 정의

이 PDA는 네 개의 상태를 가집니다.

현재 상태 q	입력 심볼 a	입력 심볼 b	공백 입력 (ε)	최종 상태 여부
q_0 (초기 상태)	(q_2, Z_0 | Z_0)	❌	❌	❌
q_2	❌	(q_0, Z_0 | Z_0)	❌	❌
q_1	(q_1, Z_0 | Z_0)	❌	(q_f, Z_0 | Z_0)	❌
q_f	❌	❌	❌	✅

설명

1. 초기 상태 q_0
   • 'a'를 입력받으면 q_2로 이동합니다.
   • 'b'가 오면 거부됩니다.
2. 상태 q_2
   • 'b'를 입력받으면 다시 q_0으로 이동하여 다음 'a'를 받을 준비를 합니다.
3. 상태 q_1
   • 마지막 'a'를 받으면 해당 상태로 이동합니다.
   • 문자열이 끝나면 공백 입력 (ε)을 받아 최종 상태 q_f로 이동합니다.
4. 최종 상태 q_f
   • 문자열이 끝나면 최종 상태로 이동하여 수락됩니다.

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4️⃣ PDA 상태 다이어그램

아래는 PDA의 동작을 나타낸 상태 다이어그램입니다.

(q0) -- a --> (q2) -- b --> (q0) -- a --> (q2) -- b --> (q0) ...
  |
  |--- a --> (q1) -- ε --> (qf)

✅ 다이어그램 설명

• 초기 상태 q_0에서 'a'를 입력받으면 q_2로 이동.
• q_2에서는 'b'를 받으면 다시 q_0으로 돌아갑니다.
• 마지막 입력이 'a'라면, q_1으로 이동한 후 공백 입력 (ε)을 받아 최종 상태 q_f로 이동하여 문자열을 수락합니다.

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5️⃣ PDA 동작 예시

아래는 몇 가지 입력 문자열에 대한 PDA 동작 과정입니다.

입력 문자열	PDA 동작 순서	결과
a	q_0 → q_1 → q_f	✅ 수락
aba	q_0 → q_2 → q_0 → q_1 → q_f	✅ 수락
ababa	q_0 → q_2 → q_0 → q_2 → q_0 → q_1 → q_f	✅ 수락
ab	❌ (마지막이 'a'가 아님)	❌ 거부
b	❌ ('a'로 시작하지 않음)	❌ 거부
abab	❌ (마지막이 'a'가 아님)	❌ 거부

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6️⃣ 결론

📢 이 PDA는 "(ab)의 반복 후 마지막이 'a'로 끝나는 문자열"을 인식하는 역할을 합니다.
📢 스택을 활용하지 않고 상태 전이만으로 동작하므로, 사실상 DFA와 동일한 방식으로 작동합니다.
📢 PDA를 더 복잡한 언어 (예: a^n b^n)를 처리하는 데 활용하려면 스택을 적극적으로 활용해야 합니다.

✅ 정리:
이 예제는 PDA의 기본적인 동작을 설명하기 위한 간단한 사례이며, 실제 PDA의 강점(스택 활용)을 이용하지 않은 설계임을 알 수 있습니다.

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📌 PDA for the Language L = { w in (a+b)* | number of 'a's is even }

1️⃣ 문제 정의

주어진 언어는 L = { w in (a+b)* | number of 'a's is even }이며, 이는 'a'의 개수가 짝수 (0, 2, 4, ...) 인 문자열만을 포함하는 언어입니다. 'b'의 개수는 제한이 없습니다.

✔️ 유효한 문자열 예시:
{ ε, b, aa, bb, aba, abba, ... }

✔️ 이 언어의 특징:

• 공백 문자열 (ε)도 포함됩니다. (0개의 'a'는 짝수로 간주)
• 'b'는 몇 개가 와도 상관없습니다.
• 'a'가 홀수 개이면 거부됩니다.

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2️⃣ PDA의 동작 원리

이 PDA는 주어진 문자열에서 'a'의 개수가 짝수인지 확인하는 역할을 합니다.

📢 핵심 원리:

• PDA는 'a'의 개수를 세는 방식으로 상태를 전이합니다.
• 'a'를 한 번 입력받으면 상태를 변경하고, 짝수 개의 'a'를 입력받으면 원래 상태로 돌아옵니다.
• 'b'는 어떤 개수든 상태를 유지하며 영향을 미치지 않습니다.
• 문자열의 마지막에 PDA가 짝수 개의 'a' 상태 (= q_0)에 있을 때만 최종 상태로 이동하여 수락됩니다.

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3️⃣ PDA 상태 전이 정의

이 PDA는 세 개의 상태를 가집니다.

현재 상태 q	입력 심볼 a	입력 심볼 b	공백 입력 (ε)	최종 상태 여부
q_0 (초기 상태, 짝수 개의 'a')	(q_1, Z_0 | Z_0)	(q_0, Z_0 | Z_0)	(q_f, Z_0 | Z_0)	❌
q_1 (홀수 개의 'a')	(q_0, Z_0 | Z_0)	(q_1, Z_0 | Z_0)	❌	❌
q_f	❌	❌	❌	✅

설명

1. 초기 상태 q_0
   • 'a'를 입력받으면 홀수 상태 q_1로 이동합니다.
   • 'b'를 입력받으면 상태를 유지합니다.
2. 홀수 개의 'a' 상태 q_1
   • 'a'를 한 번 더 입력받으면 다시 짝수 상태 q_0로 이동합니다.
   • 'b'를 입력받으면 상태를 유지합니다.
3. 최종 상태 q_f
   • 문자열이 끝났을 때 PDA가 q_0 상태에 있어야 최종 상태로 이동하여 문자열을 수락합니다.

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4️⃣ PDA 상태 다이어그램

아래는 PDA의 동작을 나타낸 상태 다이어그램입니다.

(q0) -- a --> (q1) -- a --> (q0) -- a --> (q1) -- a --> (q0) ...
  |                    |                    |
  |--- b --> (q0) -- b --> (q0) -- b --> (q0)
  |                                  |
  |--- ε --------------------------> (qf)

✅ 다이어그램 설명

• 'a'를 받을 때마다 상태가 번갈아 바뀝니다 (q_0 ↔ q_1).
• 'b'는 상태를 유지합니다.
• 마지막 입력이 끝났을 때 PDA가 q_0 상태에 있으면 최종 상태 q_f로 이동하여 문자열을 수락합니다.

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5️⃣ PDA 동작 예시

아래는 몇 가지 입력 문자열에 대한 PDA 동작 과정입니다.

입력 문자열	PDA 동작 순서	결과
ε	q_0 → q_f	✅ 수락
b	q_0 → q_0 → q_f	✅ 수락
bb	q_0 → q_0 → q_0 → q_f	✅ 수락
a	q_0 → q_1 (홀수 개의 'a', 종료 시 거부)	❌ 거부
aa	q_0 → q_1 → q_0 → q_f	✅ 수락
aba	q_0 → q_1 → q_1 → q_0 → q_f	✅ 수락
abbba	q_0 → q_1 → q_1 → q_1 → q_1 → q_0 → q_f	✅ 수락
ababba	q_0 → q_1 → q_1 → q_0 → q_1 → q_0 → q_f	✅ 수락
abb	q_0 → q_1 → q_1 → q_1 (홀수 개의 'a', 종료 시 거부)	❌ 거부

---

6️⃣ 결론

📢 이 PDA는 "a의 개수가 짝수인 문자열"을 인식하는 역할을 합니다.
📢 스택을 활용하지 않고 상태 전이만으로 동작하므로, 사실상 DFA와 동일한 방식으로 작동합니다.
📢 PDA를 더 복잡한 언어 (예: a^n b^n)를 처리하는 데 활용하려면 스택을 적극적으로 활용해야 합니다.

✅ 정리:
이 예제는 PDA의 기본적인 동작을 설명하기 위한 간단한 사례이며, 실제 PDA의 강점(스택 활용)을 이용하지 않은 설계임을 알 수 있습니다.

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📌 PDA for the Language L = { w in (a+b)* | |w| ≡ 0 mod 3 }

1️⃣ 문제 정의

주어진 언어는 L = { w in (a+b)* | |w| ≡ 0 mod 3 }이며, 이는 문자열의 길이가 3의 배수인 문자열을 포함하는 언어입니다.

✔️ 유효한 문자열 예시:
{ ε, aaa, aab, aba, abb, bbb, baa, ... }

✔️ 이 언어의 특징:

• 문자열의 길이가 0, 3, 6, 9, ... 이어야 합니다.
• 문자 'a'와 'b'의 개수는 자유롭습니다 (제한 없음).
• PDA는 입력된 문자열의 길이를 3으로 나눈 나머지를 추적해야 합니다.

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2️⃣ PDA의 동작 원리

이 PDA는 입력 문자열의 길이를 3으로 나눈 나머지를 계산하는 방식으로 동작합니다.

📢 핵심 원리:

• PDA는 길이를 나머지 0, 1, 2로 구분하는 상태를 가집니다.
• 각 문자를 읽을 때마다 다음 상태로 순환 전이합니다.
• 입력이 끝났을 때 나머지가 0인 상태에서만 최종 상태로 전이됩니다.
• 스택을 활용하지 않고 상태 전이만으로 작동합니다.

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3️⃣ PDA 상태 전이 정의

이 PDA는 네 개의 상태를 가집니다.

현재 상태 q	입력 심볼 a	입력 심볼 b	공백 입력 (ε)	최종 상태 여부
q_0 (나머지 0 상태)	(q_1, Z_0 | Z_0)	(q_0, Z_0 | Z_0)	(q_f, Z_0 | Z_0)	❌
q_1 (나머지 1 상태)	(q_2, Z_0 | Z_0)	(q_2, Z_0 | Z_0)	❌	❌
q_2 (나머지 2 상태)	(q_0, Z_0 | Z_0)	(q_0, Z_0 | Z_0)	❌	❌
q_f	❌	❌	❌	✅

설명

1. 초기 상태 q_0 (길이 0 mod 3)
   • 'a' 또는 'b'를 입력받으면 q_1 (길이 1 mod 3)로 이동합니다.
   • 문자열이 끝났을 때 q_0 상태에 있으면 최종 상태 q_f로 이동합니다.
2. 상태 q_1 (길이 1 mod 3)
   • 'a' 또는 'b'를 입력받으면 q_2 (길이 2 mod 3)로 이동합니다.
3. 상태 q_2 (길이 2 mod 3)
   • 'a' 또는 'b'를 입력받으면 q_0 (길이 0 mod 3)로 이동합니다.
4. 최종 상태 q_f
   • 문자열이 끝났을 때 q_0 상태에 있어야 최종 상태로 전이되어 수락됩니다.

---

4️⃣ PDA 상태 다이어그램

아래는 PDA의 동작을 나타낸 상태 다이어그램입니다.

(q0) -- a/b --> (q1) -- a/b --> (q2) -- a/b --> (q0) -- a/b --> (q1) ...
  |
  |--- ε --------------------------> (qf)

✅ 다이어그램 설명

• 'a' 또는 'b'를 입력할 때마다 상태가 순환 전이 (q_0 → q_1 → q_2 → q_0).
• 길이가 3의 배수일 때만 q_0 상태로 돌아갑니다.
• 문자열이 끝났을 때 q_0 상태에 있으면 최종 상태 q_f로 이동하여 문자열을 수락합니다.

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5️⃣ PDA 동작 예시

아래는 몇 가지 입력 문자열에 대한 PDA 동작 과정입니다.

입력 문자열	PDA 동작 순서	결과
ε	q_0 → q_f	✅ 수락
a	q_0 → q_1 (나머지 1, 종료 시 거부)	❌ 거부
aa	q_0 → q_1 → q_2 (나머지 2, 종료 시 거부)	❌ 거부
aaa	q_0 → q_1 → q_2 → q_0 → q_f	✅ 수락
ab	q_0 → q_1 → q_2 (나머지 2, 종료 시 거부)	❌ 거부
abb	q_0 → q_1 → q_2 → q_0 → q_f	✅ 수락
aabb	q_0 → q_1 → q_2 → q_0 → q_1 (나머지 1, 종료 시 거부)	❌ 거부
abba	q_0 → q_1 → q_2 → q_0 → q_f	✅ 수락

---

6️⃣ 결론

📢 이 PDA는 "입력 문자열의 길이가 3의 배수인 문자열"을 인식하는 역할을 합니다.
📢 스택을 활용하지 않고 상태 전이만으로 동작하므로, 사실상 DFA와 동일한 방식으로 작동합니다.
📢 PDA를 더 복잡한 언어 (예: a^n b^n)를 처리하는 데 활용하려면 스택을 적극적으로 활용해야 합니다.

✅ 정리:
이 예제는 PDA의 기본적인 동작을 설명하기 위한 간단한 사례이며, 실제 PDA의 강점(스택 활용)을 이용하지 않은 설계임을 알 수 있습니다.